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<!DOCTYPE html>

<title>Ultrametrik</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading">Ultrametrik</h1>

</header>

</div>

<div id="mw-content-text" class="mw-body-content mw-content-ltr" lang="de" dir="ltr"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="de" dir="ltr">In <a href="Analysis" title="Analysis">Analysis</a> und <a href="Topologie_(Mathematik)" title="Topologie (Mathematik)">Topologie</a> bezeichnet man als Ultrametrik eine <a href="Metrischer_Raum" title="Metrischer Raum">Metrik</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle d\colon S\times S\to \mathbb {R} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle d\colon S\times S\to \mathbb {R} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9472205a31d6b8e99e348db4dee02e2ab2ae1c38.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:13.381ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle d\colon S\times S\to \mathbb {R} }" loading="lazy"> auf einer Menge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4611d85173cd3b508e67077d4a1252c9c05abca2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.499ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle S}" loading="lazy">, welche die Metrik-Axiome

<mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle d\left(a,b\right)\geq 0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8b63ec9e9f21076a470523a682c4f38ff7fa169c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.934ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle d\left(a,b\right)\geq 0}" loading="lazy"></li>

<mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle d\left(a,b\right)=0\Leftrightarrow a=b}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/01c47ea8d51751b008e8479c92562b184c2f19f8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:19.874ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle d\left(a,b\right)=0\Leftrightarrow a=b}" loading="lazy"></li>

<mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle d\left(a,b\right)=d(b,a)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8a8465f7815d49efae094a46bfa20c84be8115b2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:16.059ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle d\left(a,b\right)=d(b,a)}" loading="lazy"> (Symmetrie)</li>

<mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle d\left(a,c\right)\leq d(a,b)+d(b,c)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7327bdfce3475e67452b196acc27946620d37e89.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:24.972ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle d\left(a,c\right)\leq d(a,b)+d(b,c)}" loading="lazy"> (<a href="Dreiecksungleichung" title="Dreiecksungleichung">Dreiecksungleichung</a>)</li></ol>

für alle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a,b,c\in S}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a,b,c\in S}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c312b6d59e6e7b775445d75a8a897f6243781656.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.642ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle a,b,c\in S}" loading="lazy"> und die letzte, die Dreiecksungleichung, in der verschärften Form

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle d(a,c)\leq \max\{d(a,b),d(b,c)\}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/93e0871a34f96d2c4c826bd6cc0f0dfe8d849062.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:29.429ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle d(a,c)\leq \max\{d(a,b),d(b,c)\}}" loading="lazy"></dd></dl>

erfüllt. Ein mit einer Ultrametrik versehener Raum heißt ein ultrametrischer Raum.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Beispiele">Beispiele</h2></div>

Die <a href="Diskrete_Topologie#Diskrete_Metriken" title="Diskrete Topologie">diskrete Metrik</a> (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle d(a,b)=1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle d(a,b)=1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0d372927d32ff0268c898399b77c5cf66ef65eea.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.547ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle d(a,b)=1}" loading="lazy"> für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a\neq b}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a\neq b}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3bf17ce351d08f2b7a3e54ba3aa2132f260c84f6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.326ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle a\neq b}" loading="lazy">, sonst <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2aae8864a3c1fec9585261791a809ddec1489950.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.162ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 0}" loading="lazy">) auf einer nichtleeren Menge ist eine Ultrametrik.

Die <a href="P-adische_Zahl#p-adische_Metrik" title="P-adische Zahl">p-adische Metrik</a> auf <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {Q} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {Q} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c5909f0b54e4718fa24d5fd34d54189d24a66e9a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.808ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {Q} }" loading="lazy"> und die auf dem Körper <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}">

<msub>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/35f44bc6894c682710705f3ea74f33042e0acc3e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:2.867ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}" loading="lazy"> der <a href="P-adische_Zahl" title="P-adische Zahl">p-adischen Zahlen</a> ist eine Ultrametrik.

Ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4611d85173cd3b508e67077d4a1252c9c05abca2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.499ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle S}" loading="lazy"> eine beliebige nichtleere Menge, dann kann man die Menge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S^{\mathbb {N} }}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S^{\mathbb {N} }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6a49d6baaaf950ba4fe77fc0de246faa23699134.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.94ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle S^{\mathbb {N} }}" loading="lazy"> aller <a href="Folge_(Mathematik)" title="Folge (Mathematik)">Folgen</a> in <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4611d85173cd3b508e67077d4a1252c9c05abca2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.499ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle S}" loading="lazy"> zu einem metrischen Raum machen, indem man den Abstand zweier verschiedener Folgen

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (x_{n}),(y_{n})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/60c3f712d9b12472f666175a6f6e980098eabf5d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.558ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (x_{n}),(y_{n})}" loading="lazy"> auf den Wert <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1/N}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1/N}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/aa5c2544725c51dfe75eea07ee1f487feb8664c4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.389ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle 1/N}" loading="lazy"> setzt, wobei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f5e3890c981ae85503089652feb48b191b57aae3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle N}" loading="lazy"> der kleinste Index ist, für den <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{N}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{N}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/03fe4fcca886b79103468f2dbef6a0c8332b746d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.021ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x_{N}}" loading="lazy"> verschieden ist von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y_{N}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y_{N}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/af3c86654dab4562f6c09c978c56f0d143679ba0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.831ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y_{N}}" loading="lazy">, und den Abstand einer Folge zu sich selbst auf <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2aae8864a3c1fec9585261791a809ddec1489950.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.162ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 0}" loading="lazy"> setzt. Dieser metrische Raum ist dann <a href="Vollst%C3%A4ndiger_Raum" title="Vollständiger Raum">vollständig</a> und ultrametrisch. Die dadurch induzierte Topologie stimmt mit der abzählbaren <a href="Produkttopologie" title="Produkttopologie">Produkttopologie</a> der <a href="Diskrete_Topologie" title="Diskrete Topologie">diskreten Topologie</a> über <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4611d85173cd3b508e67077d4a1252c9c05abca2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.499ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle S}" loading="lazy"> überein. Wichtige Beispiele für so konstruierte Räume sind der <a href="Baire-Raum_(speziell)" title="Baire-Raum (speziell)">Baire-Raum</a> (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4611d85173cd3b508e67077d4a1252c9c05abca2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.499ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle S}" loading="lazy"> abzählbar unendlich) und der <a href="Cantormenge#0-1-Folgen" class="mw-redirect" title="Cantormenge">Cantor-Raum</a> (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4611d85173cd3b508e67077d4a1252c9c05abca2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.499ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle S}" loading="lazy"> endlich mit mindestens zwei Elementen).

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Eigenschaften">Eigenschaften</h2></div>

Jedes Dreieck <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle ABC}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ABC}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5e55b44cfd965fbdc7a328d5db8a35a619db0971.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.273ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle ABC}" loading="lazy"> aus Punkten eines ultrametrischen Raums <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4611d85173cd3b508e67077d4a1252c9c05abca2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.499ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle S}" loading="lazy"> ist gleichseitig oder gleichschenklig mit kürzerer Basis. Zum Beweis: Sind <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}" loading="lazy">,<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.998ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b}" loading="lazy">,<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/86a67b81c2de995bd608d5b2df50cd8cd7d92455.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.007ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle c}" loading="lazy"> die Abstände der drei Eckpunkte (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a=d(B,C)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a=d(B,C)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/72f558ae97d504f6f3bfd3117d952f540ddb5dcd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.918ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle a=d(B,C)}" loading="lazy"> usw.), dann ist entweder <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a=b=c}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a=b=c}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/41dfe5f5f74cb7a2c79093352406fd1d19123882.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:9.431ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle a=b=c}" loading="lazy"> (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle ABC}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ABC}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5e55b44cfd965fbdc7a328d5db8a35a619db0971.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.273ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle ABC}" loading="lazy"> gleichseitig) oder eine Seite ist kürzer als eine andere, ohne Einschränkung nehmen wir an, dass <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a<b}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a<b}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/91a7698e4c7401bb321f97888b872b583a9e4642.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.326ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle a<b}" loading="lazy">. Dann kann man aus der verschärften Dreiecksungleichung folgern, dass <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c=b}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c=b}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bdc56722c27fbce9f361754489265602aff14305.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.103ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle c=b}" loading="lazy"> sein muss (es ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a<b\leq \max\{a,c\}}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a<b\leq \max\{a,c\}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/20d5a02fa4a0e2903ffb754bea21faca822a33fc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:18.346ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle a<b\leq \max\{a,c\}}" loading="lazy">, also <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b\leq c}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b\leq c}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/04cbc237b132cef779abc512c9c8e288781a808e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:5.103ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle b\leq c}" loading="lazy">, und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c\leq \max\{a,b\}=b}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c\leq \max\{a,b\}=b}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/54db4eaab1ab3f01da9d5b17c6e48203f22ce8d8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:18.113ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle c\leq \max\{a,b\}=b}" loading="lazy">), also ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle ABC}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ABC}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5e55b44cfd965fbdc7a328d5db8a35a619db0971.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.273ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle ABC}" loading="lazy"> dann gleichschenklig mit kürzerer Basis <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle BC}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle BC}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/74e0f24a49061dcd63874f7d81f395b5f38800f7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.53ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle BC}" loading="lazy">.

Jede Kugel mit strikt positivem Radius ist sowohl abgeschlossen als auch offen (aber nicht notwendig eine offene und geschlossene Kugel). (Schikhof, 1984)

Jeder Punkt in einer (offenen oder abgeschlossenen) Kugel ist Mittelpunkt dieser Kugel, und der Durchmesser ist kleiner oder gleich ihrem Radius. (<a href="Marc_Krasner" title="Marc Krasner">Marc Krasner</a>, 1944)

Zwei Kugeln sind entweder elementfremd (<a href="Disjunkt" title="Disjunkt">disjunkt</a>), oder eine ist ganz in der anderen enthalten.

Eine Folge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (a_{n})}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (a_{n})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/18bc33c7c35d82b00f88d3a9103ed4738cde41f9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.258ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (a_{n})}" loading="lazy"> in <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4611d85173cd3b508e67077d4a1252c9c05abca2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.499ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle S}" loading="lazy">, in der die Abstände direkt aufeinander folgender Glieder gegen 0 konvergieren, ist eine Cauchy-Folge, denn für jedes <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varepsilon >0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varepsilon >0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e04ec3670b50384a3ce48aca42e7cc5131a06b12.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.344ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \varepsilon >0}" loading="lazy"> gibt es dann ein <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f5e3890c981ae85503089652feb48b191b57aae3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle N}" loading="lazy"> mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle d(a_{n},a_{n+1})<\varepsilon }">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle d(a_{n},a_{n+1})<\varepsilon }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/33d07bf248926bfe45184926dd6c9adc0fe8e9c9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.238ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle d(a_{n},a_{n+1})<\varepsilon }" loading="lazy"> für alle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n\geq N}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n\geq N}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4b67a4f8e2ce89617f08316bfdcc6f33887b5629.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:6.557ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle n\geq N}" loading="lazy">, und somit gilt wegen der verschärften Dreiecksungleichung für alle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m>n\geq N}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m>n\geq N}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e137efa4ecd8f8e007a4ad4182490ef9f5e78404.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:11.696ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle m>n\geq N}" loading="lazy">: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle d(a_{n},a_{m})\leq \max\{d(a_{n},a_{n+1}),\ldots ,d(a_{m-1},a_{m})\}<\varepsilon }">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle d(a_{n},a_{m})\leq \max\{d(a_{n},a_{n+1}),\ldots ,d(a_{m-1},a_{m})\}<\varepsilon }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/18e52dd363091004d9f29e77729af5d3c0ee4be9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:51.547ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle d(a_{n},a_{m})\leq \max\{d(a_{n},a_{n+1}),\ldots ,d(a_{m-1},a_{m})\}<\varepsilon }" loading="lazy">.

In einer <a href="Topologische_Gruppe" title="Topologische Gruppe">abelschen topologischen Gruppe</a>, deren Topologie von einer translationsinvarianten Ultrametrik erzeugt wird (z. B. einem ultrametrischen Körper wie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}">

<msub>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/35f44bc6894c682710705f3ea74f33042e0acc3e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:2.867ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}" loading="lazy">) ist eine <a href="Unendliche_Reihe" class="mw-redirect" title="Unendliche Reihe">unendliche Reihe</a> genau dann eine <a href="Cauchy-Folge" title="Cauchy-Folge">Cauchy-Folge</a>, wenn die Summanden eine <a href="Nullfolge" title="Nullfolge">Nullfolge</a> bilden. Ist die Gruppe <a href="Vollst%C3%A4ndiger_Raum" title="Vollständiger Raum">vollständig</a>, dann konvergiert die Reihe in diesem Fall.

Ein ultrametrischer Raum ist <a href="Total_unzusammenh%C3%A4ngender_Raum" title="Total unzusammenhängender Raum">total unzusammenhängend</a>.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Anwendung">Anwendung</h2></div>

Anwendungen gibt es beispielsweise in der Theorie der sog. <a href="Spinglas" class="mw-redirect" title="Spinglas">Spingläser</a> in der Physik, und zwar in der <a href="Replika-Trick" title="Replika-Trick">Replika-Theorie</a> von <a href="Giorgio_Parisi" title="Giorgio Parisi">Giorgio Parisi</a>.

</div><div><div class="zim-footer">

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</div>

</div></div>

</div>

</main>

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</body></html>